人教版高一數學函數復習資料

　　高中數學明顯難了很多。函數是高中數學的重要部分，因此,很多同學感覺學習函數很吃力，下面學習啦小編整理了人教版高一數學函數復習資料，希望對同學們有幫助。

　　人教版高一數學函數復習資料

　　指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)。

　　(1) 指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，

　　同時a等于0函數無意義一般也不考慮。

　　(2) 指數函數的值域為大于0的實數集合。

　　(3) 函數圖形都是下凹的。

　　(4) a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。

　　(5) 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　　(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

　　(7) 函數總是通過(0，1)這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)

　　(8) 顯然指數函數無界。

　　(9) 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

　　(10)當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關于y軸對稱，但這兩個函數都不具有奇偶性。

　　底數的平移：

　　對于任何一個有意義的指數函數：

　　在指數上加上一個數，圖像會向左平移;減去一個數，圖像會向右平移。

　　在f(X)后加上一個數，圖像會向上平移;減去一個數，圖像會向下平移。

　　即“上加下減，左加右減”

　　底數與指數函數圖像：

　　(1)由指數函數y=a^x與直線x=1相交于點(1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大。

　　(2)由指數函數y=a^x與直線x=-1相交于點(-1，1/a)可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。

　　(3)指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。(如右圖)

　　冪的大小比較：

　　比較大小常用方法：(1)比差(商)法：(2)函數單調性法;(3)中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。

　　比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：

　　(1)對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷。

　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大于1所以函數單調遞增(即x的值越大，對應的y值越大)，因為5大于4，所以y2大于y1.

　　(2)對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖像的變化規(guī)律來判斷。

　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小于1所以函數圖像在定義域上單調遞減;3大于1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩

　　個函數圖像都過(0，1)然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1.

　　(3)對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：

　　<1> 對于三個(或三個以上)的數的大小比較，則應該先根據值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組，再比較各組數的大小即可。

　　<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”(即比較它們與“1”的大小)，就可以快速的得到答案。哪么如何判斷一個冪與“1”大小呢?由指數函數的圖像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向(例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0)時，a^x大于1，異向時a^x小于1.

　　〈3〉例：下列函數在R上是增函數還是減函數?說明理由.

　?、舮=4^x

　　因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數;

　?、苰=(1/4)^x

　　因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數

　　對數函數

　　一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　對數函數的公理化定義

　　真數式子沒根號那就只要求真數式大于零,如果有根號,要求真數大于零還要保證根號里的式子大于零，

　　底數則要大于0且不為1

　　對數函數的底數為什么要大于0且不為1

　　在一個普通對數式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據對數定義: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根據定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么這個等式兩邊就不會成立 (比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一個等于4，另一個等于-4)

　　對數函數的一般形式為 y=log(a)x，它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a^y。因此指數函數里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數函數。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

　　可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

　　(1) 對數函數的定義域為大于0的實數集合。

　　(2) 對數函數的值域為全部實數集合。

　　(3) 函數圖像總是通過(1，0)點。

　　(4) a大于1時，為單調增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調減函數，并且下凹。

　　(5) 顯然對數函數無界。

　　對數函數的常用簡略表達方式：

　　(1)log(a)(b)=log(a)(b)

　　(2)lg(b)=log(10)(b)

　　(3)ln(b)=log(e)(b)

　　對數函數的運算性質：

　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：

　　(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n屬于R)

　　(4)log(a^k)(M^n

　　)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)

　　(5)log(a)M×log(a)N=log(a)(M+N)

　　(6)log(a)M÷log(a)N=log(a)(M-N)

　　對數與指數之間的關系

　　當a大于0,a不等于1時,a的X次方=N等價于log(a)N

　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)

　　換底公式 (很重要)

　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga

　　ln 自然對數 以e為底

　　lg 常用對數 以10為底

　　[編輯本段]對數的定義和運算性質

　　一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　底數則要大于0且不為1

　　對數的運算性質：

　　當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那么：

　　(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)

　　(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

　　對數與指數之間的關系

　　當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒(a)N (對數恒等式)

　　對數函數的常用簡略表達方式：

　　(1)log(a)(b)=log(a)(b)

　　(2)常用對數:lg(b)=log(10)(b)

　　(3)自然對數:ln(b)=log(e)(b)

　　e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數函數的定義

　　對數函數的一般形式為 y=㏒(a)x，它實際上就是指數函數的反函數(圖象關于直線y=x對稱的兩函數互為反函數)，可表示為x=a^y。因此指數函數里對于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對數函數。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

　　可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

　　[編輯本段]性質

　　定義域：(0，+∞)值域：實數集R

　　定點：函數圖像恒過定點(1，0)。

　　單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數，并且上凸;

　　0<a<1時，在定義域上為單調減函數，并且下凹。

　　奇偶性：非奇非偶函數，或者稱沒有奇偶性。

　　周期性：不是周期函數

　　零點：x=1

　　注意：負數和0沒有對數。

　　兩句經典話：底真同對數正

　　底真異對數負

　　冪函數 形如y=x^a(a為常數)的函數，[即以底數為自變量指數為常量的函數稱為冪函數。]

　　當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對于a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函數里，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識。

　　對于a的取]值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們

　　知道如果a=p/q，且p/q為既約分數(即p、q互質)，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞)。當指數a是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意[實數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實數，q不[能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0 的所有實數。

　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，

　　因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點.(a≠0) a>0時 圖象過點(0，0)和(1，1)

　　(2)當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。

　　(3)當a大于1時，冪函數圖形下凸;當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。

　　(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)顯然冪函數無界限